Raisonnement Par Récurrence - Démonstration Exercices En Vidéo Terminale Spé Maths
July 31, 2024
Le Casse-Tête de la semaine Vous connaissez le raisonnement par récurrence? Mais avez-vous en tête le raisonnement par récurrence forte? Ce dernier est moins courant mais extrêmement utile dans certaines situations! Donnez-vous quelques minutes pour y répondre. Si vous ne vous en souvenez pas, passez à autre chose et pensez bien à consulter et revoir le corrigé. Voici la correction de l'exercice:
Exercice Démonstration Par Récurrence
Je pose P(n), la proposition: " n 2, si c'est vrai pour tout n >= 2 alors c'est vrai pour tout n >= 2 et on ne va pas se fatiguer à passer de n à n + 1
u n n/4
Posté par carpediem re: Récurrence forte 19-09-21 à 18:44 bon on ne va pas y passer la journée...
pour un entier n > 1 je note P(n) la proposition:
Posté par Nunusse re: Récurrence forte 19-09-21 à 18:52 Ah d'accord je vois. Exercice de récurrence c. Pour mon initialisation
pour n=2
or u n n/4
Ce qui revient à dire: u n 2 n 2 /16
mais je ne sais pas comment sortir le u n+1
Posté par carpediem re: Récurrence forte 19-09-21 à 19:31 Nunusse @ 19-09-2021 à 18:52 Hérédité: Supposons que P(n) est vraie jusqu'au rang n, ça ne veut rien dire!!!! Posté par Nunusse re: Récurrence forte 19-09-21 à 19:35 Hérédité: Supposons que P(k) est vraie pour k [|2;n|]
Montrons que P(n+1) est vraie aussi
Posté par carpediem re: Récurrence forte 19-09-21 à 19:44
donc par hypothèse de récurrence
1/ calculer S
2/ que veut-on montrer? 3/ donc comparer S et...? 4/ conclure
Posté par Nunusse re: Récurrence forte 19-09-21 à 20:36 Je n'ai pas compris votre inégalité
Posté par carpediem re: Récurrence forte 19-09-21 à 20:49 carpediem @ 19-09-2021 à 19:44
quelle est l'hypothèse de récurrence?
Exercice De Récurrence En
Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant: Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$. $P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1} \Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1. Exercice démonstration par récurrence. On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$. D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc: $M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$. Donc la propriété est vraie au rang $p+1$. La propriété est vraie au rang 1; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.
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