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Le tableau précédant devient plutôt Nous allons définir la fonction a comme suit: dans laquelle u donne le nombre de triangles pointant vers le haut et v le nombre de triangles pointant vers le bas. Considérons le petit triangle de côté k pointant vers le haut dans ce triangle de côté n. Le sommet du triangle de côté k doit obligatoirement être dans la région rougeâtre sur le schéma. Il y a donc un seul triangle à partir du haut, deux sur l'étage immédiatement inférieur, trois sur le suivant et ce jusqu'à au dernier étage. Mais, justement, combien y a-t-il de ces triangles au dernier étage? En comptant bien, on trouve triangles possibles. Pour un k et un n donnés, il y a donc triangles, ce qui se somme à ou plus simplement Maintenant, quelle est la valeur maximale de k? Combien de triangles dans cette figure solution anti. Bien sûr, c'est n. On obtient donc ce qui fait en développant puis en sortant le facteur 1/2 de la sommation On obtient dans un premier temps puis, en se rappelant ceci, on obtient dans un deuxième temps Suivent ces quelques étapes dans lesquelles on simplifie le tout.
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On ne semble déceler aucune régularité évidente (outre que le nombre de petits triangles d'une unité de côté est toujours égal à). Il faut donc chercher plus loin. On remarque, lors du dénombrement, qu'il y a quelque chose qui s'avère différent si le nombre n est pair ou impair. Mais il ne s'agit, à cette étape-ci, que d'une conjecture. D'ailleurs, en ne considérant dans le tableau précédent que les valeurs de n paires (ou impaires), on peut constater que les bonds entre les bonds entre les bonds sont constants (vous trouverez que les bonds entre les bonds entre les bonds valent tous 12). On peut donc espérer pour l'instant que la ou les règles recherchées soient des polynômes du troisième degré. Aussi, lorsqu'on compte le nombre de triangles, on tient compte du nombre de triangles des différentes grosseurs. Problème mathématique - Énigme visuelle facile #3. Par exemple, en considérant n = 5 on s'aperçoit qu'il contient 25 petits triangles de une unité de côté. Il contient aussi 13 plus grands triangles de 2 unités de côté (ou composés de 4 petits triangles).
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Les huit premières sont consignées dans le tableau suivant: 1 2 3 4 5 6 7 8 … 13 27 48 78 118 170 On peut calculer de proche en proche toutes les valeurs de k plus grandes à partir des expressions de récurrence précédentes ou bien on peut utiliser une astuce. Comme la différence entre deux éléments consécutifs \(N_{k+1}-N_k\) apparait clairement dans les expressions, il est assez naturel d'examiner cette nouvelle suite, puis de nouveau la différence entre deux valeurs consécutives ainsi obtenues. La figure 4 montre ce que l'on obtient en faisant cette opération trois fois de suite. Figure 4: Tableau des différences de deux termes consécutifs. Illusion d'optique : combien de triangles y a-t-il sur ce dessin ?. La dernière ligne est très régulière (et particulièrement simple): elle est constituée d'une alternance de 2 et de 1. Et ceci reste vrai pour les valeurs de k aussi grandes qu'on le veuille! Cette remarque nous permet d'imaginer une solution simple « de proche en proche » qui permet de compléter le tableau quel que soit k en remontant de bas en haut, comme on le voit dans la figure 5 (on obtient \(N_9=235\) en calculant d'abord \(13=12+1\), puis \(65=52+13\) et enfin, \(235=170+65\)).
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Par exemple, il est beaucoup plus difficile d'identifier un dodécagone (polygone à 10 côtés), et cela surtout s'il est irrégulier, que d'identifier un triangle.
D'abord puis En mettant sur dénominateur commun et en développant on obtient et finalement en divisant les numérateur et dénominateur par 2 Voilà donc l'expression qui nous donne le nombre de triangle pointant vers le haut. Il reste à trouver v ( n). On considère le petit triangle de côté k pointant vers le bas dans ce triangle de côté n. Encore une fois, le sommet du triangle de k unités de côté doit obligatoirement se trouver dans la région rougeâtre sur le schéma. Et, encore une fois, il y a un triangle possible à partir du haut, deux sur l'étage suivant, trois sur celui qui suit, et ce jusqu'au dernier étage. Ici, au dernier étage, il y aura toujours triangles possibles. Combien de triangles dans cette figure solution e. Cela signifie que pour un k et un n donnés, il y aura donc triangles, ce qui se somme à ou plus simplement Maintenant, quelle est la valeur maximale de k? Dans le cas d'un n pair, il est facile de voir que ce sera n /2. Dans le cas d'un n impair, ce sera plutôt ( n – 1)/2. Voilà où se trouvait la différence entre les n pairs et impairs pressentie à l'étape préliminaire du dénombrement.